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《函数单调性》教学设计

《函数的单调性》教学设计*

摘要:《函数的单调性》是经典课题,难点是如何突破用静态的数学符号刻画动态的函数变化趋势。为此设计六个学习单:第一,创设情境,明确概念(直观感受和文字描述);第二,设置问题,形成冲突(为什么要学形式化语言);第三,引导探索,生成新知(怎样用符号刻画单调性);第四,学以致用,理解感悟(能解决什么问题);第五,回顾总结,深化认识;第六,布置作业,拓展延伸。并以“问题串”的形式组织学习材料,在提高学生参与的广度和深度的同时,逐步分散难点,突出重点。

五、教学过程

学习单1:创设情境,明确概念

问题0科考队对沙漠气候进行科学考察,下图是某天气温随时间的变化曲线请你根据曲线图说说气温的变化情况?

 

预设:学生的关注点不同,如气温的最值,某时刻的气温,某时间段气温的升降变化(若学生没指明时间段,可追问)等。图象在某区间上“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性(板书课题)。

设计说明:科考情境来自地理学科,学生既熟知又新奇。借力独特的沙漠气候“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”让学生直观感知气温变化,自然引入课题。

问题1 函数是描述事物变化规律的数学模型。如果清楚了函数的变化规律,那么就基本把握了相应事物的变化规律。在事物变化过程中,保持不变的特征就是这个事物的性质。因此,研究函数的变化规律是非常有意义的。

观察下列函数图象,请你说说这些函数有什么变化趋势

           

预设:学生回答图象1时,若直接说“上升”的,可追问“我怎么看是下降的呢?”,明确“从左向右”的方向性;学生回答图象2时,可能会漏掉“先下降后上升”,可追问“在哪儿下降,在哪儿上升”,规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。

设函数的定义域为,区间。在区间上,若函数的图象(从左向右)总是上升的,即yx的增大而增大,则称函数在区间上是递增的,区间称为函数的单调增区间。

让学生类比“递增”定义“递减”。接着推出练习题(即上述气温变化图,明确时间点),让学生准确回答单调性。

设计说明:从直观感知到文字描述,完成对函数单调性的第一次认知。明确相关概念,准确表述单调性。学生没有遇到任何困难,为下面的认知冲突做好铺垫。

学习单2:设置问题,形成冲突

问题21下图是函数的图象(以为例),它在定义域R上是递增的吗?

2函数在区间有何单调性?

 

 

 

 

 

 

预设:学生会不置可否,或者凭感觉猜测,可追问判定依据。

设计说明:函数图象虽然直观,但是缺乏精确性,必须结合函数解析式;但仅凭解析式(如函数2)常常也难以判断其单调性。借此认知冲突,让学生意识到学习形式化定义的必要性,自然开始探索。

学习单3:引导探索,生成新知

问题3 1如何理解yx的增大而增大”,或者说怎样用数学符号描述函数图象的“上升”特征

以二次函数在区间上的单调性为例,用几何画板动画演示yx的增大而增大”,生成表格(共15对数据)。

设计说明:先借助图象、动画和表格等直观感受yx的增大而增大”,引导学生思考,得出符号表示:若,则为突破难点做好铺垫。

2已知函数。若有,能保证函数在区间上递增吗?

拖动“点M ”,可以看到函数在区间上的图象,可以递增,可以先增后减,也可以先减后增,等等。

3已知函数。若有

,能保证函数在区间上递增吗?

拖动“点M ”,观察函数在区间上的图象变化。

设计说明:先让学生讨论交流、举反例,然后借助几何画板动态说明仅验证区间上的两个定点不能确定函数的单调性,三个点也不行,无数个点行不行呢?引导学生过渡到符号化表示,体会取点的“任意性”,呈现知识的自然生成。

4已知函数。若有

,能保证函数在区间上递增吗?

设计说明:先请持赞同观点的同学说明理由,再请持反对意见的学生画图反驳。有意引发争论,强化理解,突破难点。然后追问:无数个也不能保证函数递增,那该怎么办?若学生回答全部取完或任取,追问“总不能一个一个的验证吧?”

紧接着师生一起回顾子集的概念,(PPT展示教材上子集定义)再次体验对“任意一个”进行操作,突破“无限”的数学方法,体会用“任意”来处理这里的“无限”的数学思想。

问题4 如何用数学语言准确刻画函数在区间上递增呢?

        

预设:请学生自愿尝试概括定义,然后师生共同完善,并板书任意时,都有,则称函数在区间上递增”,突出关键词“任意”和“都有”;若缺少关键词“任意(任取)”,则追问:若不写“任意(任取)”一词,两个点的含义还具有任意性吗?能保证函数在区间上递增吗

问题5 请你试着用数学语言定义函数在区间上是递减的。

设计说明:为表达准确规范,要求学生先写下来,然后展示。并有意引导使用“任意时,都有,则称函数在区间上递减”,以此打破必须“”的思维定势。

学习单4学以致用,理解感悟

判断题:你认为下列说法是否正确,请说明理由。(举例或者画图)

1函数的定义域为,若对任意,都有,则在区间上递增;

2设函数的定义域为若对任意,且,都有,则是递增的 

3反比例函数的单调递减区间是

4设函数的定义域为任取,且

都有,则是递减的

设计说明:让学生小组讨论,然后作展示性回答。若学生认为正确,则要求说明理由;若学生认为错误,则要求学生到黑板上画出反例(对于题3可追问怎么修改)。通过构造反例,逐步完善和加深对函数单调性的理解。题4是为“承上”直线的斜率、“启下”导函数的几何意义。

例题:物理学中的玻意耳定律为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积减小时,压强将增大。试用函数的单调性证明。

设计说明:对照定义板书示范,指明变形的主要目的是变出因式,并让学生提炼证明的基本步骤。引导学生用数学知识解释其他学科的规律,培养学生应用数学的意识和能力。

练习:证明函数在下列区间上的单调性。

1上递减;

2上递增。

设计说明:回答“问题22”悬而未决的问题。先请两位学生板演,然后由其他学生完善步骤。强化定义的重要性,养成答题的规范性。

学习单5回顾总结,深化认识

课堂小结:

1. 如何定义函数的单调性?为什么要有“任意”一词?

2. 研究函数单调性的基本思想和方法是什么?

3. 请谈谈你对这节课的主要感受。

设计说明:先给出提示性问题,要求学生自主小结,然后学生相互补充完善,使得总结简明、到位、提升

学习单6布置作业,拓展延伸

课堂作业:138页习题2-3   A组:35

2判断并证明函数的单调性。

探究题:向一杯水中加一定量的糖,糖加得越多糖水越甜。请你运用所学的数学知识解释这一现象。

设计说明:课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法,并完善对“对钩函数”的认识。探究题是为培养学生运用数学的意识(从科考情境开始,中间解释玻意耳定律,最后以糖水模型结束),感受数学的实用性和人文性。